下記の改善方法をお試しください。
※端末の操作方法は、Apple社のサポートサイト等をご参照いただくか、Apple社にお問い合わせください。

【1】Game Centerから一旦サインアウトを行い、サインインし直す

【2】Game Centerの「マルチプレイヤー設定」をオフに設定した後に、オンにする

【3】Wi-Fi環境でご利用の場合は、ご利用の通信環境（無線ルータやCTU、プロバイダ側など）で、Game Centerで使用するポートが開放されているかご確認いただく

開放が必要なポートに関する詳細は、以下のQ&Aをご確認ください。
　→　Game Centerの機能を使用する際に開放が必要なポートについて