下記の改善方法をお試しください。

【1】Game Centerから一旦サインアウトを行い、サインインし直す

【Game Centerのサインアウト手順】
≪iOS 7よりも前のバージョンの場合≫
Game Centerを起動→自分→アカウントを選択

≪iOS 7～iOS10の場合≫
端末の「設定」→「Game Center」→表示されたApple IDをタップし「サインアウト」を選択

≪iOS11～iOS12の場合≫
端末の「設定」→「Game Center」→「Game Center」をオフにする

≪iOS13～iOS14の場合≫
端末の「設定」→「Game Center」→「サインアウト」を選択

【2】Game Centerの「マルチプレイヤー設定」をオフに設定した後に、オンにする

【「マルチプレイヤー設定」の確認手順】
≪iOS11までの場合≫
端末の設定→「一般」→「機能制限」→"Game Center"項目内の「マルチプレイヤー」
※機能制限が有効の場合、設定の変更には機能制限パスコードの入力が必要です。
※オン(緑)が制限されていない状態となります。

≪iOS12以降の場合≫
端末の設定→「スクリーンタイム」→「コンテンツとプライバシーの制限」→「コンテンツ制限」→"Game Center"項目内の「マルチプレイヤー」
※「許可」がオン、「許可しない」がオフです。

【3】Wi-Fi環境でご利用の場合は、ご利用の通信環境（無線ルータやCTU、プロバイダ側など）で、Game Centerで使用するポートが開放されているかご確認いただく

開放が必要なポートに関する詳細は、以下のQ&Aをご確認ください。
　→　Game Centerの機能を使用する際に開放が必要なポートについて