Game Centerでは、通信の際に特定のポートを開放する必要があります。
Wi-Fi環境でご利用の場合は、ポートが解放されているかご確認のうえ、アプリをお楽しみください。
※ポートの開放に関して、適切な設定がご不明な場合は、ご利用のルータメーカーおよびプロバイダにお問い合わせください。

なお、Game Centerに限らず、Apple製品で使われているポートについては、更新される可能性があります。
Game Centerで使用するポートの最新情報は、アップル社の下記ヘルプページをご確認いただくか、アップル社へお問い合わせください。

■Apple社 ヘルプページ
　→　Apple ソフトウェア製品で使われている TCP および UDP ポート　（別ウィンドウで開きます）
※"ポートを使う製品／サービス"欄に"Game Center"と記載されているポートを開放してください。

ご参考：Game Centerで使用するポート（2019/9/5時点）
・TCPポート 443、5223
・UDPポート 3478～3497、4398、16384～16387、16393～16402、16403～16472