iCloudを利用することで、セーブデータのバックアップを保存することができます。
また、別のiOS端末に機種変更した場合やアプリを再インストールした場合でも、バックアップに保存されたセーブデータを引き継ぐことができます。
※有料版のアプリで作成したセーブデータは、有料版のアプリにのみ引き継ぐことができます。

バックアップや引き継ぎ方法については、公式WEBマニュアルの「引き継ぎとバックアップについて」のページをご覧ください。

■公式WEBマニュアル
　→　スマートフォン用アプリ「モンスターハンター ストーリーズ」公式WEBマニュアル　（別ウィンドウで開きます）

なお、無料版のアプリで作成したセーブデータは、無料版と有料版のどちらにも引き継げますが、有料版のアプリへ引き継ぐ場合は引き継ぎ手順が異なります。
詳細は、以下のQ&Aをご確認ください。
無料版から有料版にセーブデータを引き継ぐ方法が知りたい