PlayStation 4の一部のダウンロード版ソフトは、ダウンロードデータを分割して受信するため、全てのデータがダウンロードできていなくてもゲームを開始することができます。
途中までしかプレイできない場合には、全てのデータがダウンロードできていない状態ですので、以下のダウンロード状況が"完了"と表示されてから、再度ゲームを起動してください。

[ダウンロード状況確認手順]
PlayStation 4ホーム画面
→タイトルのアイコンを選択
→OPTIONSボタンを押す
→情報
→ダウンロード状況